Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

A

$A$ per

[\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

I_{2}

$I_{2}$ per

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

$3$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Espandi

$(2 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai

$2 λ$ da

$- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

$3$ da

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Passaggio 5.2.3

Riordina

$- 4 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

$λ$ .

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori

$a = 1$ ,

$b = - 4$ e

$c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per

$λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Eleva

$- 4$ alla potenza di

$2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai

$4$ da

$16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi

$12$ come

$2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.1

Scomponi

$4$ da

$12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$