Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(2 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- 4 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 7.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$